הביטוי n³ + 2n מתחלק ב־3אינדוקציה 571 · שיעור 13

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 13: הביטוי n³ + 2n מתחלק ב־3

פרק 3 – התחלקות

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי n³ + 2n מתחלק ב־3 ללא שארית.

הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1³ + 2 · 1 = 3 = 3 · 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

k³ + 2k = 3m

כאשר m שלם.

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

הביטוי (k + 1)³ + 2(k + 1) מתחלק ב־3.

נפתח סוגריים:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(k + 1)³ + 2(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 2k + 2

נסדר כך שיופיע הביטוי מההנחה:

= (k³ + 2k) + 3k² + 3k + 3

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

📐 הנחת האינדוקציה

k³ + 2k = 3m

הוכחה באינדוקציה · המשך

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 3m + 3k² + 3k + 3

= 3(m + k² + k + 1) ✓

m + k² + k + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־3.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

k³ + 2k = 3m

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא